Statistika

Label:

KONSEP DASAR STATISTIKA ELEMENTER
Ø      Pengertian statistik berbeda dengan statistika. Statistik adalah kumpulan informasi atau keterangan yang berupa angka-angka yang disusun, ditabulasi, dan dikelompok-kelompokan sehingga dapat memberikan informasi yang berarti mengenai suatu masalah atau gejala. Sedangkan statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang metode atau prosedur yang berhubungan dengan pengumpulan data, organisasi data, pengujian data, pengolahan data atau penganalisaan dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data tersebut.

Ø         Statistika dibedakan menjadi 2 yaitu:
1.       Statistika deskriptif
Yaitu berkaitan dengan  mengurutkan, membentuk kelompok-kelompok, meringkas dan mempresentasikan data sehingga dipeeroleh informasi yang relevan tentang keberadaan data. Jadi dalam statstika deskriptif kegiatannya menggunakan data numeric (angka) atau grafis untuk mengenali pola kelakuan data, merangkum dan menyajikan informasi.
2.       Statistika inferensial
Statistika yang membicarakan tentang pembuatan kesimpulan, memprediksi kejadian, mencari hubungan antar data. Dalam membuat keputusan dan memprediksikan hubungan antar kejadian dapat dikatakan benar atau hampir benar dan bisa salah melalui pengujian data sampel, hasilnya dapat dipakai untuk membuat estimasi, keputusan,prediksi, atau generalisasi ke populasi. Sebagai konsekuensi kita bentuk suatu konsep peluang (probabilitas) untuk menentukan ukuran kesalahannya. Dalam hal ini kita dapat mengasumsikan mengajkan hipotesis dan diuji.

Ø   Jenis-jenis data:
*      Berdasarkan cara perolehannya, yaitu:
a.       Data primer, yaitu data yang  dikumpulkan atau diperoleh langsung dari tangan pertama dan diolah oleh organisasi atau perorangan.
b.      Data sekunder, yaitu data yang diperoleh dari pihak lain yang telah mengumpulkan dan mengolahnya.
*      Berdasarkan waktu pengumpulan, yaitu:
·         Time series, data yang dikumpulkan pada waktu tertentu untuk menggambarkan waktu itu. Data ini mempunyai banyak waktu dan satu variable.
·         Cross section, data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan suatu perkembangan atau pertumbuhan. Data ini mempunyai satu waktu dan banyak variable.
·         Panel data, gabungan dari time series dan cross secsion (banyak waktu dan banyak variabel).
*      Berdasarkan sifatnya, yaitu:
1)      Data kuantitatif, yaitu data yang berbentuk numerik (angka).
Data kuantitatif dibedakan menjadi :
a)      Data kontinu, adalah data yang berasal dari mengukur dan merupakan data lanjutan yan mampu mengakomodinir pecahan.
b)      Data diskrit adalah data yang berasal dari menghitung atau pengamatan dan berupa bilangan penuh yang tidak bisa dipecah.
2)      Data kualitatif, yaitu data yang berbentuk deskriptif.
Data kualitatif dibedakankan menjadi:
a.       Data nominal , yaitu data yang berbentuk bilangan diskrit yang tiap unsurnya tidak mempunyai arti menurut besarnya atau posisinya. Bilangan yang digunakan hanya sebagai simbolisasi data saja. Datanya dapat secara bebas disusun tanpa memperhatikan urutan, dan dapat dipertukarkan.
Contoh: Data dari variabel jenis kelamin (laki-laki=1, perempuan=2). Data ini dapat dibolak-balik dan tidak akan mempengaruhi urutan skalanya.
b.      Data ordinal, yaitu data yang berasal dari hasil pengamatan, observasi, atau angket dari suatu variabel. Bilangan yang digunakan menunjukan urutan menurut kualitas atributnya. Bilangan pengganti kualitas tersebut mempunyai suatu tingkatan atribut, sehingga tidak bisa dibolak-balik atau dipertukarkan.
c.       Data interval, yaitu data yang berasal dari hasil mengukur suatu variabel. Data ini diasumsikan berbentuk bilangan kontinu mempunyai ukuran urutan, seperti data ordinal. Pada data ini tidak memiliki nol mutlak artinya, jika suatu responden variabelnya bernilai nol bukan berarti tidak memiliki substansi sama sekali.
d.      Data ratio, yaitu data yang sebenar-benarnya data kualitatif. Data ini diasumsikan berbentuk bilangan kontinu hamper sama dengan data interval, perbedaannya terletak pada nilai nol. Pada data ini memiliki nilai nol mutlak, artinya jika suatu responden varabelnya bernilai nol berarti tidak memiliki substansi sama sekali.


PENGOLAHAN DATA (UKURAN TENDENSI SENTRAL)
Ø  Ukuran tendensi sentral secara umum diartikan sebagai pusat dari distrbusi, dalam hal ini meliputi mean (rataan), median (nilai pembatas separoh data), modus (ukuran yang sering muncul) dan sejenisnya. Bentuk datanya dibedakan data tunggal dan data berkelompok.

Ø  Perhitungan untuk data tunggal:

                                I.            Mean (rata-rata)
Mean data tunggal merupakan jumlah nilai data dibagi dengan banyaknya data.

=

Contoh:
tentukan mean dari data: 2, 4, 6, 5, 8.

=
    =
   = 5

                              II.            Modus (Mo)
Modus data tunggal adalah suatu nilai yang mempunyai frekuensi kemunculan tertinggi. Secara formula dapat ditulis:
F(xm) = max  f(xi), 1 ≤ I ≤ n

Contoh:
                Hitunglah modus dari data: 4, 3, 6, 6, 7, 8, 4, 2, 3, 7, 3, 5,

ü  Modusnya adalah 3 karena frekuensi nilai 3 paling besar diantara nilai-nilai yang lain.

                            III.            Median (Me)
Untuk menentukan median dari data mentah, kita harus mengurutkannya lebih dahulu dari yang terkecil. Jika jumlah data adalah genap maka mediannya adalah rataan antara dua nilai yang terletak ditengah, dan jika datanya ganjil maka nilai median berada tepat pada urutan tengah.

Contoh:
                Tentukan median dari data: 3, 5, 4, 2, 6

ü  Data tersebut belum urut sehingga perlu diurutkan terlebih dahulu sebagai berikut: 2, 3, 4, 5, 6, dalam kasus ini n= 5 (ganjil) maka,
Median =  = ��3 = 4

                            IV.            Generalisasi Median ( Quartil, Desil, Persentil)
Median adalah nilai yang berada di tengah. Dalam hal ini median membagi data menjadi 50% sebelah kiri dan 50% sebelah kanan. Pembagian ini dapat digeneralisasi pada pembagian yang lebih kecil. Bila data dibagi 4 diperoleh 25% jumlah data pertama adalah Q1 – Quarti bawah, 50% jumlah data berikutnya adalah Q2 = Median, dan 75% jumlah adatah berikutnya adalah Q3 = Quartil atas.
Pada pembahasan disini akan akan disajikan dimulai dengan rumus letak. Untuk menhitung kuartil, desil, atau persentil tertentu terlebih dahulu dihitung letak/posisi data. Perhitungan disini diberikan rumusnya untuk persentil. Pada perhitungan kuartil dan desil dapat menyesuaikan dengan rumus persentil. Misal Q1 = P25, D2= P20 dan seterusnya.
Misalkan ada data x1, x2, …, xn, akan dicari persentil ke i (Pi). Rumus posisi untuk persentil:
Rumus letak  Pi =                           dimana n = banyaknya data, i = 1,2,…,100
Sehingga nilai yang akan dicari adalah:
Pi = xm + t (xm+1 – xm)             pi             = nilai yang akan dicari
                                                                m+1       = posisi m ditambah 1
                                                                m            = pembulatan pi ke bawah
                                                                t              = pi – m

Contoh:
                Diberikan data 1, 3, 6, 8, 9, 10, 13, 16,
a.       Akan dicari median atau persentl ke 50

Pi =
P50  =  = 4,5
Diperoleh m = 4, t = 4,5 – 4 = 0,5
Sehingga Me=P50 = xm + t (xm+1 – xm)
                                   = 8 + 0,5 (9 – 8)
                                   = 8,5

b.      Akan dicari desil ke 7 atau persentil 70

D7 = P70 = = 6,3
                m= 6,  t = 0,3
                D7 = 10 + 0,3 (13 -10)
                     =10,9

Ø  Perhitungan untuk data berkelompok:
Data berkelompok disini dimaksudkan adalah data tunggal dalam jumlah cukup banyak, dikelompok-kelompokan menurut batas interval yang ditentukan. Sajian data untuk kategori skala kardnal, interval, dan ratio, biasanya digunakan tabulasi data-data dikelompokan pada suatu area tertentu atau suatu interval nilai yang ditentukan. Kegiatan membuat tabulasi nilai dinamakan membuat tabel distribusi frekuensi.
Untuk dapat membuat daftar distribusi frekuensi, langkah-langkahnya sebagai berikut:
§  Tentukan jangkauan  atau rentang data, yaitu nilai tertinggi dikurangi nilai terendah.
§  Tentukan banyaknya kelas (b) yang diperlukan.
Untuk menjadikan kelompok ada 2 cara yakni, langsung diminta menjadi b kelompok sesuai permintaan, atau dengan menggunakan rumus Sturgess, yaitu:
                b = 1 + 3,3 log n
dimana n adalah banyak data, b banyak kelas interval. b harus dalam bilangan bulat, sehingga hasil tersebut harus dibulatkansesuai dengan ketentuan ( setengah satuan terkecil ke atas, dibulatkan ditambah 1, selain itu dibulatkan ke bawah).
§  Tentukan panjang kelas interval (p) dengan rumus:
P=
Dimana selalu dibulatkan ke atas ( karena apabila dibulatkan ke bawah dimungkinkan terjadi suatu nilai tertinggi tidak masuk dalam interval kelas terakhir).
§  Pilihlah batas bawah kelas pertama dengan mengambil nilai terkecil. Kemudiann berdasarkan panjang kelas yang sudah diperoleh, tentukan kelas-kelasnya sedemikian rupa sehingga seluruh data dap[at tercakup di dalamnya.
§  Tentukan frekuensi masing-masing kelas dengan sistem turus atau tally (dihitung satu per satu). Masukkan hasilnya dalam sebuah daftar sehingga tersusunlah daftar distribusi frekuensi berkelompok.

Contoh:
Skor hasil tes IQ dari 50 siswa tercatat sebagai berikut:
80           111         122         124         119         125         88           100         117         87
104         86           112         88           96           118         127         129         85           89
123         110         92           127         103         89           128         103         115         95
127         104         117         89           110         116         103         84           127         97
113         93           88           123         121         92           119          89          125        118
Dari data tersebut buatlah daftar distribusi frekuensi berkelompok!
o   Rentang = nilai tertinggi – nilai terendah
  = 129 – 80 = 49
o   Banyak kelas (b) = 1 + 3,3 log n
 = 1 + 3,3 log 50
 = 6,6 (dibulatkan menjai 6 atau 7)
o   Panjang kelas
Misalkan diambil b = 6 sehingga diperoleh
P=
  = = 8,166
Karena p = 8,166, panjang kelas interval dapat diambil 8 atau 9.
o   Menentuakankelas-kelas interval
Misalnya, diambil p= 9, b= 6, dan batas bawah kelas pertama adalah 80, maka diperoleh kelas-kelas berikut.
Kelas pertama adalah 80 – 88
Kelas kedua adalah 89 – 97
Kelas ketiga adalah 98 – 106
Kelas keempat adalah 107 – 115
Kelas kelima adalah 116 – 124
Kelas keenam adalah 125 – 133
o   Menyusun daftar distribusi frekuensi berkelompok.
Berdasarkan kelas-kelas yang diperoleh, dapat dihitung frekuensi masing-masing kelas dengan tally atau turus.

nilai
Tally (Turus)
Frekuensi
80 – 88
89 – 97
98 - 106
107 – 115
116 – 124
125 - 133
IIII III
IIII IIII
IIII I
IIII I
IIII IIII II
IIII III
8
10
6
6
12
8

Ø  Menghitung tendensi sentral data berkelompok:
                                 i.            Mean
Rata –rata atau rataan hitung untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, dapat dihitung dengan rumus:
=

Contoh:
Tabel distribusi frekuensi hasil tes IQ dari 50 siswa

nilai
fi
xi
fixi
80 – 88
89 – 97
98 - 106
107 – 115
116 – 124
125 - 133
8
10
6
6
12
8
84
93
102
111
120
129
672
930
612
666
1440
1032
Jumlah
50
-
5352

=  =  = 107,04

Cara kedua untuk menghitung mean dari data dalam daftar distribusi frekuensi ialah dengan menggunakan mean sementara. Biasanya mean sementara dipilih dari titik tengah kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi. Simbol untuk mean sementara yaitu x0, harga x0 diberi nilai sandi c = 0. Tanda kelas yang lebih keci dari x0 berturut-turut diberi harga sandi c = -1, c = -2, dan seterusnya. Tanda kelas yang lebih besar dari x0 berturut-turut mempunyai harga-harga sandi c = +1,c = +2, dan seterusnya. Dengan ini semua panjang kelas interval yang sama besarnya, maka mean dapat dihitung:

 = ��0 + p

Contoh:
untuk data hasil tes IQ 50 siswa.

                Tabel distribusi cara sandi
nilai
fi
xi
ci
fici
80 – 88
89 – 97
98 - 106
107 – 115
116 – 124
125 - 133
8
10
6
6
12
8
84
93
102
111
120
129
-4
-3
-2
-1
0
1
-32
-30
-12
-6
0
8
Jumlah
50
-
-
-72

 = ��0 + p
    = 120 + 9
     = 120 + (-1,44)
    = 107,04

                               ii.            Modus
Untuk mencari modus dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Mo = bbmo + p
bbmo      = batas bawah kelas modus
p             = panjang interval kelas
c1                   = selisih kelas modus dengan kelas sebelumnya
c2            = selisih kelas modus dangan kelas sesudahnya

contoh:
untuk data hasil tes IQ dari 50 siswa tersebut diperoleh kelas modusnya adalah 116 – 124 dengan bbmo = 115,5.
                Mo = bbmo + p
                   = 115,5 + 9
                   = 120,9

                              iii.            Median
Untuk menghitung median menggunakan rumus:
Me = Q2 +

Atau secara umum, untuk data yang tersusun dalam daftar distribusi frekunsi berkelompok, kuartil dapat ditntukan dengan rumus:
Qi =(+ p          = tepi bawah kelas Qi ( i = 1, 2, 3)
                                                n             = ukuran data
                                                                Fi             = frekuensi kumulatif sebelum kelas Qi
                                                                fQi           = frekuensi kelas Qi
                                                                p             = panjang kelas interval

Contoh:
untuk data hasil tes IQ dari 50 siswa

Me =  +
       = 97,5 + 9
       = 108

Ø  soal:
*      Untuk data tunggal :
Diberikan data: 3, 4, 3, 7, 8, 6, 6, 5
Hitunglah:
1.       Mean
2.       Modus
3.       Median
4.       Desil ke 4
5.       Kuartil

> Penyelesaian:
1.       Mean            =  =  
                 =
                 =  = 5,25
2.       Modus          = 3 dan 6
3.       Median         = data diurutkan dahulu menjadi: 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, ( n = 8)
 =  
 =  
 =  (5 + 6)
 = 5,5
4.       Desil ke 4 atau persentil 40
Letak D4 = P40 = 40 = 3,6
D4 atau P40 = 4 + 0,6 (5 – 4)
                     = 4,6
5.       Kuartil
Letak k1 = P25 = 25 =2,25
 P25 = 3 + 0,25 (4 – 3)
        = 3,25
Letak k3 = P75 = 75  = 6,75
                    P75= 6 + 0,75 (7 – 6)
                           = 6,75

*      Untuk data berkelompok:
Diketahui data nilai ujian statistika dari 40 mahasiswa sebagai berikut:
85           53           60           94           88           43           39           52           68           55
65           35           75           85           90           81           99           77           90           95
98           50           40           70           72           93           93           60           57           31
37           80           82           90           97           90           86           84           81           91

1.       Dari data tersebut buatlah daftar distribusi frekuensi berkelompok!
2.       Tentukanlah:
a)      Mean
b)      Modus
c)       Median

>Penyelesaian:
1.  daftar distribusi frekuensi berkelompok:
o   Rentang
= Niai tertinggi – nilai terendah
= 99 – 31
= 68
o   Banyak kelas
b = 1 + 3,3 log n
   = 1 + 3,3 log 40
   = 1 + 3,3 (1,60)
   = 6,29  7
o   Panjang kelas
p =  =  = 9,71
o   Kelas-kelas interval
p = 10, b = 7, batas bawah kelas pertama adalah 31, maka kelas pertama adalah 31 – 40
o   Menyusun daftar distribusi frekuensi

nilai
tururs
frekuensi
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 -100

IIII
II
IIII I
III
IIII
IIII IIII II
IIII III
5
2
6
3
4
12
8

3.       a). mean

nilai
fi
xi
ci
fici
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
5
2
6
3
4
35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
-50
-40
-30
-20
-10
-250
-80
-180
-60
-40
81 – 90
12
85,5
0
0
91 – 100
8
95,5
10
80
Jumlah
40


-530

             = ��0 + p
  = 85,5 + 10
  = 72,25
b). modus
                      Dari tabel tersebut di atas terlihat bahwa kelas modus terletak pada interval 81 – 90 (kelas dengan frekuensi paling tinggi, yaitu 12.
Mo = bbmo + p
       = 80,5 + 10
        = 87,17
c). median                
nilai
fi
Fkum
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 -100
5
2
6
3
4
12
8
5
7
13
16
20
32
40

Me =  +

        = 70,5 + 10
       = 70,5 + 10
       = 80,5
                

0 komentar:

Posting Komentar